A criação dos números complexos passou por muitos estudos, que levaram mais ou menos 300 anos para serem desenvolvidos, assim, teorias referentes a esse conjunto numérico.
Girolamo Cardano (1501-1576) foi quem começou os estudos dos números complexos. Ele mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x2 – 10x +40 = 0.
Antes dele e de sua teoria, não existia outro matemático que acredite que um número negativo pudesse ser extraído da raiz quadrada.
Porém, influenciado por ele, Friedrich Gauss (1777-1855) foi quem formalizou que era sim possível haver uma solução para esse problema.
O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos.
Naturais 
Inteiros 
Racionais 
Reais 
Imaginários iComplexos 
• Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac – bd, ad + bc ).
• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.onde se realizarmos i2 teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).Assim temos a notação usual que i2 = – 1. E que i =
• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d
Se z = a + bi então
= a – bi
Exemplos(2,1)=2+i(-1,3)=-1+3i ...Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:y=Im(z), parte imaginária de zDois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que: Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que: Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:i0 = 1i1 = ii2 = -1i3 = i2.i = -1.i = -ii4 = i2.i2=-1.-1=1i5 = i4. 1=1.i= ii6 = i5. i =i.i=i2=-1i7 = i6. i =(-1).i=-i ......Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onder é o resto da divisão de n por 4.Exemplo:i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexosPara multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onder é o resto da divisão de n por 4.Exemplo:i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Divisão de números complexosPara dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]O conjunto dos números complexos, representado por, contém o conjunto dos números reais. O conjunto dos números complexos também pode ser entendido por seu isomorfismo com um espaço vetorial sobre , o conjunto dos reais.Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por:
.São definidas a adição e a multiplicação e a igualdade.
• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu valor é ( 0, 1),Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z. Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.
• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)iConjugado de um número complexo. ()(5,3)=5+3ix=Re(z, parte real de z
Igualdade entre números complexosz1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexosz1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexosz1-z2=(a-c) + (b-d)Potências de iz1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
Exercícios Resolvidos
01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i
02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:
a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i
03. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i100 é:
a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1
Resolução:
02. A
(1-i)²-1+i+1
1+i²+i
i²=-1 1-1+1 = i
03. A
10/4=4 resto 2 = i² = -1
100/4=25 não tem resto = 1
-1+1 = 0
Inteiros Racionais Reais Imaginários iComplexos • Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac – bd, ad + bc ).
• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.onde se realizarmos i2 teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).Assim temos a notação usual que i2 = – 1. E que i =
• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d
Se z = a + bi então
= a – biExemplos(2,1)=2+i(-1,3)=-1+3i ...Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:y=Im(z), parte imaginária de zDois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z
Multiplicação de números complexosPara multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onder é o resto da divisão de n por 4.Exemplo:i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Divisão de números complexosPara dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]O conjunto dos números complexos, representado por
, contém o conjunto dos números reais. O conjunto dos números complexos também pode ser entendido por seu isomorfismo com um espaço vetorial sobre , o conjunto dos reais.Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por:.São definidas a adição e a multiplicação e a igualdade.• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu valor é ( 0, 1),
• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)iConjugado de um número complexo. (
)(5,3)=5+3ix=Re(z, parte real de zIgualdade entre números complexosz1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexosz1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexosz1-z2=(a-c) + (b-d)Potências de iz1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
Exercícios Resolvidos
01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i
02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:
a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i
03. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i100 é:
a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1
Resolução:
| 01. C 15-10i+21i-14i² i²=-115-10i+21i+14= 29+11i OBS: Para resolver esse exercício é necessário saber o básico de números complexos para fazer a substituição do i² e multiplicação.Nível Dificuldade: Fácil |
(1-i)²-1+i+1
1+i²+i
i²=-1 1-1+1 = i
OBS: Para resolver esse exercício é necessário saber o básico de números complexos para fazer a substituição do i² e multiplicação. Nível Dificuldade: Fácil
03. A
10/4=4 resto 2 = i² = -1
100/4=25 não tem resto = 1
-1+1 = 0
OBS: Para resolver esse exercício é necessário saber potenciação de números complexos para fazer a divisão por 4 analisar o resto e substituir a potenciação para achar o resultado. Nível Dificuldade: Médio
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